２点を通る直線

２点 $(x_1,y_1)$ および $(x_2,y_2)$ を通る直線 $y=a\cdot x+b$ を求める

$\begin{equation} a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \qquad b=\cfrac{x_2 y_1 - x_1 y_2}{x_2-x_1} \end{equation}$

２直線の交点

２直線 $y=a\cdot x+b$ および $y=c\cdot x+d$ の交点を求める

$\begin{equation} (x,y)=\left(\cfrac{d-b}{a-c}, \cfrac{a d - b c}{a-c}\right) \end{equation}$

最小自乗回帰

直線 $y=a\cdot x + b$ の回帰係数と相関係数

$\begin{equation} a=\cfrac{n\cdot\sum(x_i\cdot y_i)-\sum x_i\cdot \sum y_i}{n\cdot\sum x_i{}^2-\left(\sum x_i\right)^2} \end{equation}$

$\begin{equation} b=\cfrac{\sum x_i{}^2\cdot \sum y_i-\sum(x_i\cdot y_i)\cdot \sum x_i}{n\cdot\sum x_i{}^2-\left(\sum x_i\right)^2} \end{equation}$

$\begin{equation} r=\cfrac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2}\cdot\sqrt{\sum(y_i-\bar{y})^2}} \end{equation}$

３点を通る円

３点 $(x_1,y_1)$ 、 $(x_2,y_2)$ および $(x_2,y_2)$ を通る¥の方程式を求める。 ¥の方程式を

$\begin{equation} x^2+y^2+a x+b y+c=0 \end{equation}$

とおけば、

$\begin{align} & a x_1 + b y_1 + c = -x_1{}^2-y_1{}^2 \\ & a x_2 + b y_2 + c = -x_2{}^2-y_2{}^2 \\ & a x_3 + b y_3 + c = -x_3{}^2-y_3{}^2 \end{align}$

となり、以下の連立方程式を解くことにより、定数 $a, b, c$ が求まる。

$\begin{equation} \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} a \\ b \\ c \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} -x_1{}^2-y_1{}^2 \\ -x_2{}^2-y_2{}^2 \\ -x_3{}^2-y_3{}^2 \end{Bmatrix} \end{equation}$

ここで、円の方程式を以下のように置き換えれば、

$\begin{equation} (x-A)^2+(y-B)^2=r^2 \end{equation}$

中心座標 $(A, B)$ および半径 $r$ は以下の通り表される。

$\begin{equation} A=-\cfrac{a}{2} \qquad B=-\cfrac{b}{2} \qquad r=\sqrt{\cfrac{a^2}{4}+\cfrac{b^2}{4}-c} \end{equation}$

２点を通る円（２直線に接する円）

２点 $(x_1, y_1)$ および $(x_2, y_2)$ を通る円の方程式を求める。求める円の方程式を以下の通りおく。

$\begin{equation} (x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r_c{}^2 \end{equation}$

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円は、点 $(x_1, y_1)$ で直線 I: $y=a\cdot x+b$ に接し、かつ、点 $(x_2, y_2)$ で直線 II: $y=c\cdot x+d$ に接するとする。

点 $(x_1, y_1)$ で直線 I に直交する直線 I': $y=A \cdot x+B$ とすれば、直線の直交条件より、

$\begin{equation} a\times A=-1 \qquad y_1=-\cfrac{1}{a}\cdot x+B \qquad B=y_1+\cfrac{x_1}{a} \end{equation}$

よって、直線 I' は

$\begin{equation} y=-\cfrac{1}{a}\cdot x+y_1+\cfrac{x_1}{a}=A\cdot x+B \end{equation}$

同様に、点 $(x_2, y_2)$ で直線 II に直交する直線 II': $y=C \cdot x+D$ とすれば

$\begin{equation} y=-\cfrac{1}{c}\cdot x+y_2+\cfrac{x_2}{c}=C\cdot x+D \end{equation}$

円の中心 $(x_c, y_c)$ は、直線 I'と直線II' の交点であるため、

$\begin{equation} (x_c, y_c)=\left(\cfrac{D-B}{A-C}, \cfrac{A D - B C}{A-C}\right) \end{equation}$

ここに、

$\begin{align} &A-C=\cfrac{1}{c}-\cfrac{1}{a} \\ &D-B=y_2+\cfrac{x_2}{c}-\left(y_1+\cfrac{x_1}{a}\right) \\ &A D-B C=-\cfrac{1}{a}\left(y_2+\cfrac{x_2}{c}\right)+\cfrac{1}{c}\left(y_1+\cfrac{x_1}{a}\right) \end{align}$

ここで、直線 II: $y=c\cdot x+d$ を既知とすれば、未知数は $a$ のみとなるため、 $a$ を試行的に変化させながら、円の中心 $(x_c, y_c)$ を求め、中心から、点 $(x_1, y_1)$ および点 $(x_2, y_2)$ までの距離が等しくなる条件

$\begin{equation} (x_1-x_c)^2+(y_1-y_c)^2=(x_2-x_c)^2+(y_2-y_c)^2 \end{equation}$

を満足するまで繰り返す。

上記により円の中心 $(x_c, y_c)$ が求まれば、半径は

$\begin{equation} r_c=\sqrt{(x_1-x_c)^2+(y_1-y_c)^2} \end{equation}$

として求まる。

与えられた点を通る回帰直線

与えられた点 $(x_0, y_0)$ を通る回帰直線 $y=a\cdot x+b$ を求める。求めたい直線は、点 $(x_0, y_0)$ を通るため、

$\begin{equation} y_0=a\cdot x_0+b \rightarrow b=y_0-a\cdot x_0 \end{equation}$

よって、未知数は $a$ のみとなる。

直線回帰したい複数個のデータの組を、 $(x_i, y_i)$ とすれば、各点から直線までの距離は

$\begin{gather} d_i=(y_i-y_0)-a(x_i-x_0) \rightarrow d_i{}^2=a^2(x_i-x_0)^2-2a(y_i-y_0)(x_i-x_0)+(y_i-y_0)^2\\ D=\sum d_i{}^2=a^2\sum (x_i-x_0)^2-2a\sum(y_i-y_0)(x_i-x_0)+\sum(y_i-y_0)^2 \end{gather}$